Von Neumann-algebra

Een von Neumannalgebra of W*-algebra heeft enkele equivalente definities: een von Neumann-algebra is:

• een involutieve unitale deelalgebra van de begrensde operatoren B(H) op een Hilbertruimte H, gesloten voor de ultrazwakke topologie;
• een involutieve deelalgebra van de begrensde operatoren op een Hilbertruimte, zodat M gelijk is aan zijn bicommutant M;
• een unitale C*-algebra met een preduale als Banachruimte. Deze preduale is op isomorfisme na uniek, en gelijk aan de ruimte van normale functionalen op de von Neumannalgebra.

De equivalentie tussen de eerste twee definities is de inhoud van von Neumanns bicommutantstelling. Ze geeft aan dat von Neumannalgebra's op louter algebraïsche wijze gekarakteriseerd kunnen worden. De equivalentie tussen de eerste definitie en de laatste definitie moet als volgt worden opgevat: voor elke von Neumannalgebra bestaat er een injectief, (zwak-*)-(ultra-zwak) continu *-homomorfisme naar de verzameling begrensde operatoren op een Hilbertruimte. Dit betekent dus dat de volledige structuur van een von Neumannalgebra concreet gerepresenteerd kan worden. Deze situatie is analoog aan deze voor C*-algebra's.

Een von Neumannalgebra die representeerbaar is op een Hilbertruimte met een aftelbare basis, wordt ${\displaystyle \sigma }$-eindig genoemd.

Een von Neumannalgebra met triviaal centrum wordt een factor genoemd.

De von Neumannalgebra is genoemd naar de Hongaars-Amerikaanse wiskundige John von Neumann.